La matemática en Mesopotamia: Las operaciones fundamentales

Si la matemática mesopotámica hubiera estado basada en la suma de números enteros y de fracciones unitarias, como veremos cuando hablemos de la matemática en Egipto, el invento de la notación posicional no habría tenido una gran importancia para la época, ya que no es mucho más difícil escribir el número 98.765 en jeroglífico que en cuneiforme. El secreto de la superioridad evidente de la aritmética y el álgebra babilónica sobre la egipcia se basa en que tuvieron la feliz idea de extender el principio posicional a las fracciones y no solo a los números enteros. Esto significa que los babilonios tenían a su disposición toda la capacidad y simplicidad de cálculo que nos permiten hoy a nosotros las fracciones decimales modernas.

Para el escriba babilonio, lo mismo que para nosotros, la suma o la multiplicación de dos números como 0,24 · 2,17 no era más difícil que la suma o la multiplicación de los números enteros 24 · 217.

Los babilonios también utilizaron el principio de notación posicional para representar las fracciones. Algunas fracciones sencillas venían representadas por símbolos especiales. Así, nos encontramos con para 1/2, para 1/3, y 2/3. Estas fracciones especiales, eran para los babilonios medidas de cantidades y no de divisores de la unidad en partes, aunque, debieron surgir como medidas de cantidades que guardaban esas relaciones respectivas con otra cantidad tomada como unidad.

La eficacia de los babilonios calculando no era consecuencia únicamente de su sistema de numeración, sino que los matemáticos mesopotámicos se mostraron extremadamente hábiles inventando métodos algorítmicos, tales como el algoritmo para aproximar raíces cuadradas que se ha atribuido posteriormente a diversos matemáticos, entre ellos los griegos Arquitas (428-365 a.C.) y Herón de Alejandría (aprox. 100 a.C.).

A pesar de la eficacia de esta regla para el cálculo de raíces cuadradas, los escribas mesopotámicos parecen haber preferido imitar al matemático aplicado moderno, recurriendo frecuentemente a las diversas y abundantes tablillas de que disponían. Una parte importante del conjunto de tablillas cuneiformes que se han desenterrado son tablas, entre las que se incluyen tablas de multiplicar, tablas de inversos, tablas de cuadrados y cubos o de raíces cuadradas y cúbicas escritas en el sistema sexagesimal cuneiforme.

Los babilonios manejaban las operaciones aritméticas fundamentales de una manera no muy distinta a como las utilizamos hoy y con una facilidad comparable. Para representar la suma los babilonios reunían las dos expresiones en una sola, como en , que significa 10+9=19. La resta se solía indicar por , que representa 20-1=19.

También efectuaban los babilonios multiplicaciones de números enteros: multiplicar por 37, por ejemplo, suponía multiplicar por 30 luego por 7, y sumar el resultado. El símbolo específico para la multiplicación era el , que se pronunciaba a-ra que significa ir. ( ver tabla de multiplicar del 2 y del 5).

La división se hacía mediante una simple multiplicación del dividendo por el inverso del divisor, usando para ello una tabla de inversos. De la misma manera que podemos hacer hoy el cociente de dividir 34 por 5 de una manera fácil multiplicando 34 por 2 y corriendo la coma decimal un lugar hacia la izquierda, los antiguos babilonios efectuaban la misma división calculando el producto de 34 por 12 y corriendo la coma sexagesimal un lugar hacia la izquierda. Las tablas de inversos solían dar solamente los inversos de los enteros regulares, es decir, de los que se pueden escribir como productos de doses, treses y cincos, pero se conocen algunas excepciones: hay una tabla, por ejemplo, que incluye las aproximaciones de 1/59 y 1/61, que no son otra cosa que los análogos sexagesimales de nuestras expresiones decimales 1/9 y 1/11, fracciones unitarias en la que el denominador es una unidad menor y una unidad mayor que la base.

Entre las tablillas que datan de la época babilónica antigua se encuentran algunas tablas que contienen las potencias sucesivas de un número dado, análogas a nuestras tablas modernas de logaritmos. Se ha encontrado tablas de este tipo exponencial en las que aparecen las diez primeras potencias de base 9, 16, 1’40 y 3’45, todas ellas cuadrados perfectos. Las diferencias principales entre estas tablas antiguas y las nuestras, aparte de las cuestiones de lenguaje y de notación, son las de que no se utilizaban ningún número concreto como una base fija para los diversos problemas, y que los huecos o saltos que separan las entradas en las tablas antiguas son mucho más grandes que en las nuestras. Y podemos añadir, que sus «tablas de logaritmos» no se utilizaban para los fines de simplificación del cálculo en general, sino más bien para resolver problemas muy concretos.

A pesar de los grandes huecos que presentan sus tablas exponenciales, los matemáticos babilónicos no dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para aproximar valores intermedios. La interpolación lineal parece haber sido un procedimiento muy corriente en la antigua Mesopotamia, y la notación posicional se prestaba a la práctica de la regla de tres.

Apéndice

Bibliografía

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. Klein, M.:"El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días I". Alianza Universidad, Madrid, 1992.

3. MacTutor History of Mathematics archive: "Ancient Babylonian Mathematics" (página web)

4. Maza, Carlos: "Matemáticas en Mesopotamia" (página web)

Mª del Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas